Invatare Atomica

Graficul de activitati de tip Gantt si traiectoria critica

De la lista de activitati la data reala de finalizare a unui proiect mic, cu exemplu numeric complet

Progres lectie:
0%
🎯

Obiectivul lectiei

Vei invata sa citesti si sa construiesti un grafic Gantt, sa calculezi traiectoria critica a unui proiect mic folosind un exemplu numeric complet, dus pana la rezultat, si sa explici de ce intarzierea unei singure activitati poate intarzia tot proiectul, in timp ce intarzierea alteia nu schimba nimic.

Dupa aceasta lectie vei putea:

  • Sa citesti un grafic Gantt: ce reprezinta axele si barele, si cum afli dependentele dintre activitati din tabelul de predecesori
  • Sa construiesti tabelul de activitati cu predecesori si durate pentru un proiect mic
  • Sa calculezi inceputul si sfarsitul cel mai devreme (ES si EF) al fiecarei activitati
  • Sa calculezi inceputul si sfarsitul cel mai tarziu (LS si LF) si rezerva de timp (float)
  • Sa identifici traiectoria critica a unui proiect si sa explici ce inseamna practic pentru echipa
  • Sa construiesti un grafic Gantt simplu in Excel pornind de la un tabel de date

Incearca singur!

Provocare — inainte sa citesti:

Lucrezi la un mic proiect de amenajare a unui colt verde cu o pergola de lemn in curtea scolii. Observi ca daca lemnul comandat pentru pergola intarzie cu o zi, tot proiectul se termina cu o zi mai tarziu. Dar daca sapatul fundatiei (o alta activitate, cu durata asemanatoare) intarzie cu una-doua zile, data de finalizare a proiectului ramane exact aceeasi. Cum poate fi adevarat asta, cand ambele activitati apartin aceluiasi proiect? Scrie mai jos ce crezi ca explica aceasta diferenta.

💡 Ai nevoie de un indiciu?

Gandeste-te la un proiect ca la mai multe drumuri paralele care duc spre acelasi punct final. Unele activitati stau pe drumul cel mai lung — cel care decide cat dureaza tot proiectul. Altele stau pe drumuri mai scurte, cu timp de rezerva inainte sa ajunga din urma drumul lung.

Raspunsul exact, cu numere, il vei calcula singur in aceasta lectie, pe exact acest proiect cu pergola.

1

Graficul Gantt — vizualizarea unui proiect pe o axa a timpului

Graficul Gantt este o diagrama cu bare orizontale, in care fiecare activitate a unui proiect este reprezentata printr-o bara. Pe axa orizontala este trecut timpul (zile, saptamani sau luni), iar pe axa verticala este trecuta lista activitatilor, una sub alta. Lungimea unei bare arata durata activitatii, iar pozitia ei pe orizontala arata cand incepe si cand se termina. A fost popularizat la inceputul secolului XX de inginerul american Henry Gantt si ramane astazi cea mai folosita reprezentare vizuala pentru planificarea proiectelor mici si mijlocii.
Proiectul folosit in aceasta lectie:

De-a lungul acestei lectii lucram pe acelasi proiect mic, realist pentru un liceu tehnologic: amenajarea unui colt verde cu o pergola din lemn in curtea scolii. Proiectul are sase activitati:

CodActivitateDurata (zile)
AMasurarea terenului si proiectarea pergolei3
BComanda si transportul materialului lemnos4
CPregatirea terenului (sapat, nivelat)2
DDebitarea si tratarea lemnului (ignifugare, biocid)3
EMontajul structurii pergolei5
FPlantarea vegetatiei si finisajele2
Ce arata, de fapt, un grafic Gantt:

Barele nu incep toate din ziua 0. O activitate care depinde de alta (de exemplu, lemnul nu poate fi tratat inainte sa fie adus) incepe abia dupa ce activitatea de care depinde s-a terminat. Aceasta legatura dintre activitati — cine trebuie sa se termine inainte ca alta sa poata incepe — se numeste dependinta sau relatie de precedenta si este exact subiectul urmatorului atom.

2

Predecesori si dependinte intre activitati

O activitate are un predecesor cand nu poate incepe decat dupa ce o alta activitate s-a terminat. Tabelul de activitati al unui proiect trebuie sa contina, pentru fiecare activitate: codul, descrierea, durata si predecesorul (predecesorii) — adica activitatea sau activitatile care trebuie terminate inainte ca aceasta sa poata incepe. Succesorul este exact inversul predecesorului: daca A este predecesorul lui B, atunci B este succesorul lui A — adica B depinde de A si nu poate incepe pana A nu se termina. O activitate poate avea unul, mai multi sau niciun succesor.
Tabelul complet de activitati, cu predecesori:
CodActivitatePredecesorDurata (zile)
AMasurarea terenului si proiectarea—3
BComanda si transportul lemnuluiA4
CPregatirea terenuluiA2
DDebitarea si tratarea lemnuluiB3
EMontajul structurii pergoleiC, D5
FPlantarea si finisajeleE2
Cum se citeste tabelul:

Activitatea A nu are predecesor — poate incepe imediat, in ziua 0. Activitatile B si C depind AMBELE de A, dar nu depind una de cealalta — pot fi lucrate in paralel, de doua echipe diferite, imediat ce A s-a terminat. Activitatea E depinde de DOUA activitati simultan (C si D) — nu poate incepe pana nu se termina AMBELE, chiar daca una dintre ele s-a terminat de mult mai devreme. Succesorii unei activitati se gasesc cautand-o in coloana Predecesor a celorlalte randuri: succesorii lui A sunt B si C (fiindca A apare acolo la randurile lui B si C); singurul succesor al lui C este E (fiindca doar randul lui E are C in coloana Predecesor).

3

Pasul inainte: cel mai devreme inceput si sfarsit (ES si EF)

Pentru fiecare activitate calculam doua momente: ES (Earliest Start — inceputul cel mai devreme posibil) si EF (Earliest Finish — sfarsitul cel mai devreme posibil). Regula: EF = ES + durata. Iar ES al unei activitati este egal cu cel mai mare (maximul) dintre EF-urile TUTUROR predecesorilor ei. Daca activitatea nu are predecesor, ES = 0. Acest calcul se numeste pasul inainte (forward pass) si se face parcurgand activitatile in ordinea in care se pot incepe.
Calculul complet pe proiectul cu pergola:
ActivitateESDurataEF = ES + durataExplicatie
A033fara predecesor, incepe in ziua 0
B347ES = EF(A) = 3
C325ES = EF(A) = 3
D7310ES = EF(B) = 7
E10515ES = max(EF(C)=5, EF(D)=10) = 10
F15217ES = EF(E) = 15
Rezultat:

EF-ul cel mai mare dintre toate activitatile (aici, EF(F) = 17) este durata minima posibila a intregului proiect: 17 zile. Proiectul nu poate fi terminat mai repede de atat, oricat de bine ar fi organizata munca — pentru ca fiecare activitate depinde de cele dinaintea ei.

4

Pasul inapoi: cel mai tarziu sfarsit si rezerva de timp

Dupa ce am aflat durata minima a proiectului (17 zile), calculam pentru fiecare activitate cat de tarziu poate incepe si se poate termina FARA sa intarzie data finala. LF (Latest Finish) este sfarsitul cel mai tarziu admis, iar LS = LF − durata. Pentru activitatile fara succesor, LF este egal cu durata totala a proiectului. Pentru celelalte, LF = cel mai mic (minimul) dintre LS-urile TUTUROR succesorilor ei. Acest calcul se numeste pasul inapoi (backward pass) si se face parcurgand activitatile de la ultima catre prima.
Calculul complet, plus rezerva de timp (float = LS − ES):
ActivitateLFDurataLS = LF − durataRezerva = LS − ES
F1721515 − 15 = 0
E1551010 − 10 = 0
D10377 − 7 = 0
C10288 − 3 = 5
B7433 − 3 = 0
A3300 − 0 = 0
Ce inseamna rezerva de timp (float):

Rezerva de timp arata cu cate zile poate intarzia o activitate fata de inceputul ei cel mai devreme, FARA sa afecteze data finala a proiectului. Activitatea C are rezerva 5: poate incepe oricand intre ziua 3 (cel mai devreme) si ziua 8 (cel mai tarziu, adica 3+5) fara sa schimbe cu nimic data de finalizare din ziua 17. Toate celelalte activitati (A, B, D, E, F) au rezerva 0 — nu au nicio zi de intarziere permisa.

5

Traiectoria critica — drumul care decide data finala

Traiectoria critica (drumul critic) este succesiunea de activitati cu rezerva de timp ZERO, de la inceputul pana la sfarsitul proiectului. Este cel mai LUNG drum posibil prin reteaua de activitati — si tocmai pentru ca este cel mai lung, el decide durata minima a intregului proiect. Orice intarziere pe o activitate de pe traiectoria critica se transmite direct in intarzierea datei finale, zi cu zi.
Traiectoria critica a proiectului cu pergola:

Din tabelul de rezerve de la atomul anterior, activitatile cu rezerva 0 sunt A, B, D, E, F. Ele formeaza traiectoria critica: A → B → D → E → F, cu durata 3+4+3+5+2 = 17 zile — exact durata totala a proiectului calculata la pasul inainte. Activitatea C NU face parte din traiectoria critica; ea este pe un drum secundar, A → C → E → F, cu durata 3+2+5+2 = 12 zile — mai scurt cu 5 zile decat drumul critic (17 − 12 = 5).

Cum enumeri toate drumurile posibile printr-un proiect:

Pornesti de la activitatea (activitatile) fara predecesor si urmezi, pas cu pas, toate ramificatiile posibile — de fiecare data cand o activitate are mai multi succesori, se deschide un drum nou pentru fiecare — pana ajungi la activitatea (activitatile) fara succesor. Aduni duratele activitatilor de pe fiecare drum obtinut. In proiectul cu pergola exista exact doua drumuri posibile, pentru ca A are doi succesori (B si C) care se reunesc din nou in E: A → B → D → E → F (3+4+3+5+2 = 17 zile) si A → C → E → F (3+2+5+2 = 12 zile). Drumul de 17 zile este mai lung, deci el este traiectoria critica — exact rezultatul la care ai ajuns si prin calculul ES/EF/LS/LF de la Atomii 3 si 4. Cele doua metode trebuie sa dea mereu acelasi raspuns; daca nu coincid, ai gresit undeva calculul.

Greseala tipica:

Multi elevi cred ca activitatea "critica" este cea cu durata individuala cea mai mare. Este gresit — iata de ce, cu un exemplu clar: imagineaza-ti o activitate G, cu durata 6 zile dar rezerva 4 zile — desi e lunga, mai are 4 zile de marja inainte sa afecteze data finala, deci NU e critica. In schimb, o activitate H, cu durata de doar 1 zi dar rezerva 0, ESTE critica: orice intarziere a ei, fie si de o singura zi, intarzie tot proiectul. Lungimea barei din grafic nu spune nimic despre cat de critica e o activitate — doar rezerva (float), calculata complet cu ES/EF/LS/LF, o arata cu certitudine. Chiar si in proiectul cu pergola, nu presupune ca E e critica doar pentru ca e cea mai lunga (5 zile): verifica in tabelul de rezerve — rezerva ei este 0, la fel ca a lui A, B, D si F, si tocmai asta o face critica, nu durata.

Raspunsul la provocarea de la inceputul lectiei:

Activitatea B (comanda si transportul lemnului) este pe traiectoria critica — rezerva ei este 0, deci orice intarziere a ei se transmite direct in intarzierea proiectului, zi cu zi. Activitatea de sapat fundatia (C) are 5 zile rezerva — poate intarzia cu una-doua zile fara ca proiectul sa se termine mai tarziu, pentru ca rezerva absoarbe intarzierea inainte sa ajunga din urma traiectoria critica.

6

De la tabelul de calcul la graficul Gantt in Excel

Odata calculate ES si EF pentru fiecare activitate, graficul Gantt se construieste direct: fiecare bara incepe in ziua ES si are lungimea egala cu durata activitatii, terminandu-se in ziua EF. Mai jos este reprezentarea proiectului cu pergola, unde fiecare caracter dintr-un rand inseamna o zi din cele 17 ale proiectului.
Atentie la conventia de numerotare a zilelor:

ES si EF calculate la Atomii 3 si 4 folosesc conventia 0-based: ziua 0 este chiar inceputul proiectului, deci activitatea A are ES=0. Tabelul de mai jos, ca orice calendar real, numeroteaza zilele calendaristic incepand de la 1. Asadar, ES=3 (adica "dupa ce au trecut 3 zile intregi") corespunde cu inceputul zilei calendaristice a 4-a: de aceea activitatea B, cu Start=3, ocupa efectiv coloanele 4-7 din tabel, nu 3-6. Retine aceasta diferenta de 1 cand transformi ES/EF in date de calendar reale, altfel gresesti cu o zi la fiecare activitate.

Reprezentare simplificata (1 caracter = 1 zi; ▬ = activitate in lucru, · = zi neocupata de acea activitate):
ActivitateStartDurataZiua 1 → 17
A03▬▬▬··············
B34···▬▬▬▬··········
C32···▬▬············
D73·······▬▬▬·······
E105··········▬▬▬▬▬··
F152···············▬▬
Cum construiesti acest grafic in Excel, pas cu pas:
  1. Introdu datele in trei coloane. Cap de tabel: Activitate, Start, Durata. In coloana Start pui valoarea ES calculata la Atomul 3 (nu EF); in coloana Durata pui durata activitatii, exact ca in tabelul de mai sus.
  2. Selecteaza cele trei coloane, cu antet. Cu mouse-ul, selecteaza intervalul complet, inclusiv randul cu titlurile coloanelor — ele devin automat legenda graficului.
  3. Insereaza graficul. Din fila Insert (Inserare), grupul Charts (Diagrame), alege tipul Bar Chart (grafic cu bare orizontale) si varianta Stacked Bar (Bara stivuita) 2-D. Excel deseneaza pe fiecare rand doua bucati de bara suprapuse: Start si Durata.
  4. Fa invizibila portiunea Start. Click-dreapta pe portiunea colorata a seriei Start → Format Data Series (Formatare serie de date) → Fill (Umplere) → No Fill (Fara umplere). Seria Start devine invizibila; ramane vizibila doar seria Durata, incepand exact din ziua Start — acesta este efectul clasic de grafic Gantt.
  5. Corecteaza ordinea activitatilor. Excel deseneaza implicit prima activitate din tabel jos de tot pe grafic, nu sus. Click-dreapta pe axa verticala (lista activitatilor) → Format Axis (Formatare axa) → bifeaza Categories in reverse order (Categorii in ordine inversa), ca activitatea A sa apara sus.
Limita graficului Excel — fara sageti de dependinta:

Graficul Gantt construit in Excel cu pasii de mai sus arata DOAR bare de timp (cand incepe si cand se termina fiecare activitate) — Excel nu deseneaza automat sageti de dependinta intre activitati. Ca sa afli cine depinde de cine te uiti in continuare la tabelul cu coloana Predecesor de la Atomul 2, nu la grafic — graficul si tabelul se citesc IMPREUNA, nu unul in locul celuilalt.

De retinut pentru proba de evaluare a competentelor digitale:

Constructia unui grafic pornind de la un tabel de date — selectarea corecta a intervalului, alegerea tipului de grafic, formatarea unei serii — este exact tipul de sarcina de lucru cu foaie de calcul care poate aparea la proba de evaluare a competentelor digitale de la bacalaureat. Exerseaza pasii de mai sus direct in Excel, pe propriile tale date, nu doar citindu-i.

7

Recapitulare si legatura cu monitorizarea proiectului

Calculul traiectoriei critice se face intotdeauna in aceasi ordine: tabel de activitati cu predecesori si durate → pasul inainte (ES, EF) → pasul inapoi (LS, LF) → rezerva de timp (float) → identificarea activitatilor cu rezerva 0, care formeaza traiectoria critica.
Rezumat vizual al pasilor de calcul:

Tabel activitati + predecesori + durate
  ↓ pasul inainte
ES si EF (cel mai devreme inceput / sfarsit)
  ↓ pasul inapoi, plecand de la durata totala
LS si LF (cel mai tarziu inceput / sfarsit)
  ↓ rezerva = LS − ES
Traiectoria critica — activitatile cu rezerva 0

Conexiune cu urmatoarea lectie:

Graficul Gantt cu traiectoria critica pe care tocmai l-ai construit nu este un desen static — este planul fata de care se compara executia reala a proiectului. In lectia urmatoare vei invata cum se monitorizeaza un proiect in timpul executiei, ce se face cand o activitate reala intarzie fata de plan si cum se evalueaza rezultatul final.

De retinut pentru activitatile practice:

EF = ES + durata; ES = maximul EF-urilor predecesorilor.
LS = LF − durata; LF = minimul LS-urilor succesorilor.
Rezerva = LS − ES; rezerva 0 inseamna activitate critica.
Traiectoria critica = cel mai lung drum prin retea = durata minima a proiectului.
In Excel: Stacked Bar cu seria Start pe Fara umplere = grafic Gantt.

Exercitii practice

Exercitiul 1 (Nivel minim) — Un lant simplu de activitati

O mica lucrare de amenajare a unei alei pietonale in curtea scolii are trei activitati care se executa STRICT in aceasta ordine, fiecare incepand numai dupa ce se termina precedenta: A. Sapare si nivelare teren — 3 zile (fara predecesor); B. Turnare fundatie din piatra sparta — 4 zile (predecesor A); C. Asezare pavele — 5 zile (predecesor B). Calculeaza ES si EF pentru fiecare activitate, spune cate zile dureaza in total lucrarea si explica de ce, in acest caz, TOATE cele trei activitati sunt critice (rezerva 0).

Vezi rezolvarea

ES/EF: A: ES=0, EF=0+3=3. B (pred A): ES=EF(A)=3, EF=3+4=7. C (pred B): ES=EF(B)=7, EF=7+5=12.

Total lucrare: 12 zile (EF-ul ultimei activitati, C).

Toate cele trei activitati sunt critice (rezerva 0) pentru ca formeaza un singur lant, fara nicio activitate paralela care sa le poata "astepta": orice intarziere la A, B sau C se transmite direct in intarzierea datei finale — nu exista niciun drum alternativ care sa absoarba diferenta.

Exercitiul 2 (Nivel standard) — Traiectoria critica a unei banci de gradina

O echipa confectioneaza si monteaza o banca de gradina din lemn reciclat pentru spatiul verde al scolii, cu cinci activitati: A. Proiectarea bancii — 2 zile (fara predecesor); B. Procurarea lemnului reciclat — 5 zile (predecesor A); C. Curatarea si slefuirea lemnului — 3 zile (predecesor A); D. Asamblarea structurii bancii — 4 zile (predecesori B si C); E. Vopsirea si lacuirea — 2 zile (predecesor D). Construieste tabelul complet cu ES, EF, LS, LF si rezerva pentru fiecare activitate, identifica traiectoria critica si spune cu cate zile poate intarzia activitatea C fara sa afecteze data finala a proiectului.

Vezi rezolvarea

Pasul inainte: A: ES=0,EF=2. B(pred A): ES=2,EF=7. C(pred A): ES=2,EF=5. D(pred B,C): ES=max(7,5)=7,EF=11. E(pred D): ES=11,EF=13.

Pasul inapoi (durata totala 13): E: LF=13,LS=11. D: LF=11,LS=7. C: LF=7,LS=4, rezerva=4-2=2. B: LF=7,LS=2, rezerva=2-2=0. A: LF=2,LS=0, rezerva=0.

Traiectoria critica: A → B → D → E (rezerva 0), durata 2+5+4+2=13 zile. Activitatea C poate intarzia cu pana la 2 zile fara sa afecteze data finala.

Exercitiul 3 (Nivel performanta) — Efectul a doua intarzieri identice ca durata

Foloseste proiectul bancii de gradina din Exercitiul 2 (activitatile A-E, cu duratele si predecesorii de acolo) si traiectoria critica pe care ai calculat-o acolo. Analizeaza SEPARAT doua scenarii de intarziere, fiecare de exact 3 zile: Scenariul 1 — activitatea B (Procurarea lemnului reciclat) dureaza in realitate 8 zile in loc de 5; Scenariul 2 — activitatea C (Curatarea si slefuirea lemnului) dureaza in realitate 6 zile in loc de 3. Recalculeaza noua data de finalizare a proiectului in fiecare scenariu si explica, folosind notiunea de rezerva de timp, de ce aceeasi intarziere de 3 zile are un efect DIFERIT asupra datei finale in cele doua scenarii.

Vezi rezolvarea

Scenariul 1 (B: 5→8 zile): B e pe traiectoria critica (rezerva 0), deci toata intarzierea de 3 zile se transmite direct: EF(B)=10, EF(D)=max(10,5)+4=14, EF(E)=16. Noua data finala: 16 zile (+3).

Scenariul 2 (C: 3→6 zile): C are rezerva 2 zile, deci doar excesul peste rezerva se transmite: 3-2=1 zi. EF(C)=8, EF(D)=max(7,8)+4=12, EF(E)=14. Noua data finala: 14 zile (+1).

Aceeasi intarziere de 3 zile are efect diferit pentru ca B nu are rezerva (orice intarziere e critica), iar C are 2 zile de rezerva care absorb o parte din intarziere — doar diferenta ramasa ajunge la data finala.

Ce ai invatat astazi

  • Graficul Gantt = bare orizontale; axa orizontala = timp, axa verticala = activitati
  • Predecesor = activitatea care trebuie terminata inainte ca alta sa poata incepe
  • Pasul inainte: EF = ES + durata; ES = maximul EF-urilor predecesorilor
  • Pasul inapoi: LS = LF − durata; LF = minimul LS-urilor succesorilor
  • Rezerva de timp (float) = LS − ES; arata cate zile poate intarzia o activitate fara efect asupra datei finale
  • Traiectoria critica = activitatile cu rezerva 0; e drumul cel mai lung si decide durata minima a proiectului
  • Intarzierea unei activitati critice intarzie proiectul zi cu zi; intarzierea unei activitati cu rezerva se absoarbe partial sau total
  • In Excel, graficul Gantt se face dintr-un grafic Stacked Bar cu seria Start pe Fara umplere

Vrei mai mult?

  • Provocare: Ia un plan cu minim 5 activitati si predecesori (poti reface tabelul cu pergola din lectie, cu alte durate) si calculeaza complet ES, EF, LS, LF si rezerva pentru fiecare activitate, apoi identifica singur traiectoria critica, fara sa te uiti la raspunsul din lectie.
  • De gandit: Activitatea C din exemplul cu pergola are rezerva de 5 zile. Cu cate zile trebuie sa intarzie C ca sa devina ea insasi parte din traiectoria critica? Calculeaza exact folosind valorile ES si EF date in lectie.
  • Deschidere: Metoda traiectoriei critice (CPM - Critical Path Method) e folosita real, de decenii, in constructii si productie industriala; e motivul pentru care un manager de proiect stie exact care activitate anume nu are voie sa intarzie nicio zi.

Urmatoarea lectie

Continua cu monitorizarea si evaluarea proiectului — cum compari executia reala cu graficul Gantt planificat si cum masori daca proiectul a avut succes.

Continua →